问题
解答题
已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的斜率之积kPA1•kPA2=1，求双曲线C的标准方程．
答案
（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：
-x2 a2
=1（a＞0，b＞0），y2 b2
所以A1（-a，0），A2（a，0），
所以kPA1•kPA2=
•1 2+a
=1 2-a
=1，1 4-a2
解得a2=3．…2分
将a2=3，P（2，1）代入双曲线方程，得
-4 3
=1，解得b2=3．…2分1 b2
所以双曲线C的标准方程为
-x2 3
=1．…2分y2 3
（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：
-y2 a2
=1（a＞0，b＞0），x2 b2
所以A1（0，-a），A2（0，a），
所以kPA1•kPA2=
•2 1+a
=2 1-a
=1，4 1-a2
解得a2=-3（舍去）．…2分
综上，所求双曲线C的标准方程为
-x2 3
=1．y2 3