问题
填空题
已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a1=4，则d的取值集合为______；
（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为______．
答案
由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，
由等差数列的通向公式可得a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=a1+（k-1），
整理得d=
，a1 k-p-q+1
（1）若a1=4，则d=
，4 k-p-q+1
∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，
∴k-p-q+1∈N*，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合为 {1，2，4}；
（2）若a1=2m（m∈N*），则d=
，2m k-p-q+1
∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，
∴k-p-q+1∈N*，
∴d=1，2，4，…，2m，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m=
=2m+1-1，1×(1-2m+1) 1-2
故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1-1．
