问题
问答题
已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定．
(Ⅰ)求证：y(x)在x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线y=y(x)在x=0附近的凹凸性．
(Ⅱ)求证：y(x)在x=1某邻域是单调下降的．
答案
参考答案：[分析与证明] (Ⅰ)在方程中令[*]
将方程两边对x求导两次得
eyy’+6xy’+6y+2x=0 ①
eyy"+eyy’2+6xy"+12y’+2=0 ②
将x=0，y=0代入①得y’(0)=0，再以x=0，y=0，y’=0代入②得y"(0)=-2．因此y(x)在x=0取极值，并取极大值．
由方程知，y(x)有二阶连续导数．由y"(x)的连续性知存在x=0的一个邻域，在此邻域y"(x)＜0，即曲线y=y(x)在点(0，0)附近是凸的．
(Ⅱ)在原方程中令x=1得ey(1)+6y(1)=0
[*]
再由y’的连续性知，存在x=1的一个邻域，在此邻域y’(x)＜0，即y(x)在此邻域单调下降．