问题
问答题
设二次型
矩阵A满足AB=0，其中
(Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换．
(Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同．
答案
参考答案：(Ⅰ)AB=O和λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1，0，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．故有
[*]
[*]
由矩阵A的特征多项式
[*]
得矩阵A的特征值为：6，0，-6．
由(6E-A)x=0得矩阵A属于特征值6的特征向量为(1，2，-1)T
由(-6E-A)x=0得矩阵A属于特征值-6的特征向量为(-1，1，1)T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有
[*]
那么令
[*]
则有[*]
(Ⅱ)不合同，因为[*]它们的正负惯性指数不一样，所以不合同．