参考答案：

利用极限的保号性及介值定理易证(Ⅰ)．对(Ⅱ)可先作辅助函数

ψ(x)=e^xf(x)．

令其导数等于0，可产生

e^x[f’(x)+f(x)]=0， 即 f’(x)+f(x)=0．

再作辅助函数F(x)=e^-x[f(x)+f’(x)]证之．

证 (Ⅰ)由f’(a)f’(b)＞0知，f’(a)与f’(b)同号，不妨设

f’(a)＞0，f’(b)＞0，

则

又由极限的保号性知，存在x₁∈(a，a+δ₁)，使得f(x₁)＞0；同理存在x₂∈(b-δ₂，b)，使得f(x₂)＜0．

由连续函数的介值定理(零点定理)知，存在ξ∈(x₁，x₂)(a，b)，使得f(ξ)=0．

(Ⅱ)令ψ(x)=e^xf(x)，则

ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b)．

由罗尔定理知，存在ξ₁∈(a，ξ)，使

ψ’(ξ₁)=[e^xf(x)]’|_x=ξ1=0， 即 f(ξ₁)+f’(ξ₁)=0．

同理，存在ξ₂∈(ξ，b)，使

ψ’(ξ₂)=e^ξ₂[f(ξ₂)+f(ξ₂)]=0，

即

f(ξ₂)+f’(ξ₂)=0．

再令

F(x)=e^-x(f(x)+f’(x))，

则

F(ξ₁)=F(ξ₂)=0．

对F(x)在[ξ₁，ξ₂]上应用罗尔定理知，存在

使得

F’(η)|_x=η={-e^-x[f(x)+f’(x)]+e^-x[f’(x)+f"(x)]}_x=η=e^-x[f(x)-f(x)]|_x=η=0，

即

F’(η)=e^-η[f"(η)-f(η)]=0， 亦即 f"(η)=f(η)．