问题
问答题
设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，
f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．
试证：
(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f"(η)=f(η)。
答案
参考答案：
利用极限的保号性及介值定理易证(Ⅰ)．对(Ⅱ)可先作辅助函数
ψ(x)=exf(x)．
令其导数等于0，可产生
ex[f’(x)+f(x)]=0， 即 f’(x)+f(x)=0．
再作辅助函数F(x)=e-x[f(x)+f’(x)]证之．
证 (Ⅰ)由f’(a)f’(b)＞0知，f’(a)与f’(b)同号，不妨设
f’(a)＞0，f’(b)＞0，
则
又由极限的保号性知，存在x1∈(a，a+δ1)，使得f(x1)＞0；同理存在x2∈(b-δ2，b)，使得f(x2)＜0．
由连续函数的介值定理(零点定理)知，存在ξ∈(x1，x2)
(a，b)，使得f(ξ)=0．
(Ⅱ)令ψ(x)=exf(x)，则
ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b)．
由罗尔定理知，存在ξ1∈(a，ξ)，使
ψ’(ξ1)=[exf(x)]’|x=ξ1=0， 即 f(ξ1)+f’(ξ1)=0．
同理，存在ξ2∈(ξ，b)，使
ψ’(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f(ξ2)]=0，
即
f(ξ2)+f’(ξ2)=0．
再令
F(x)=e-x(f(x)+f’(x))，
则
F(ξ1)=F(ξ2)=0．
对F(x)在[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在
使得
F’(η)|x=η={-e-x[f(x)+f’(x)]+e-x[f’(x)+f"(x)]}x=η=e-x[f(x)-f(x)]|x=η=0，
即
F’(η)=e-η[f"(η)-f(η)]=0， 亦即 f"(η)=f(η)．