参考答案：

(1)只需作出辅助函数Φ(x)=f(x)-x，利用介值定理证之；

(2)对于中值等式f’(ξ)-λf(ξ)=0，常作辅助函数F(x)=f(x)e^-λx证之．将待证等式右边的1看成ξ’，则待证等式可化为

f’(ξ)-ξ’-λ[f(ξ)-ξ]=[f(ξ)-ξ]’-λ[f(ξ)-ξ]．

于是易想到作辅助函数

F(x)=e^-λx[f(x)-x]，

利用罗尔定理证之．

证 (Ⅰ)令Φ(x)=f(x)-x，则Φ(x)在[0，1]上连续，又

故由介值定理知，存在，使得

Φ(η)=f(η)-η=0，即f(η)=η．

(Ⅱ)设F(x)=e^-λxΦ(x)=e^-λx[f(x)-x]，

则F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且

F(0)=0，F(η)=e^-ληΦ(η)=0，

即F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，即

e^-λξ{f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0，

从而

f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．