（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），

∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），

∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）

（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，

∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，

即

f(an+1)

f(an)

=2

∴{f（a_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，

∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）

（3）∵bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．

若bn＜

m-8

4

恒成立（n∈N₊），则-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，即m＞

4

2n-1

．

∵n∈N₊，∴当n=1时，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．

又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N₊，有bn＜

m-8

4

．（14分）