参考答案：为证g(x)g(a)≥f(x)-f(a)，即证
g(x)-f(x)≤g(a)-f(a)．
需作辅助函数φ(x)=g(x)-f(x)，对φ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．为证
-[g(x)-g(a)]≤f(x)-f(a)，
即证
f(x)+g(x)≥f(a)+g(a)．
需作辅助函数ψ(x)=f(x)+g(x)，对ψ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．
证令φ(x)=g(x)-f(x)，由拉格朗日中值定理得
φ(x)-φ(a)=φ’(ξ)(x-a)， a＜ξ＜x．
当x≥a时，由于 |f’(x)|≤g’(x)，
则
-g’(x)≤f’(x)≤g’(x)，
于是
φ’(ξ)=g’(ξ)-f’(ξ)≥0．
所以当x≥a时，
φ(x)-φ(a)≥0，
即
g(x)-f(x)-[g(a)-f(a)]≥0，
则
g(x)-g(a)≥f(x)-f(a) (x≥a)．
①
又令ψ(x)=g(x)+f(x)，由拉格朗日中值定理得
ψ(x)-ψ(a)=ψ’(ξ)(x-a)， a＜ξ＜x．
当x≥a时，由于
|f’(x)|≤g’(x)，
则
f’(x)+g’(x)≥0，
于是
ψ’(ξ)≥0．
故当x≥a时， ψ(x)-ψ(a)≥0，
即
g(x)+f(x)-[g(a)+f(a)]≥0．
所以，当x≥a时，
g(x)-g(a)≥-[f(x)-f(a)]，
即
f(x)-f(a)≥-[g(x)-g(a)]．
②
综合式①、式②得 |f(x)-f(a)|≤g(x)-g(a)．