（Ⅰ）由题意，利用等差数列的公差为2，得到

1

ai + ai+1

=

ai+1 - ai

2

，

所以S100=

a101 - a1

2

=

25+2×100 - 25

2

=5．

（Ⅱ）证：令n=1得到

p

a1 + a2

=

1

a1 + a2

，则p=1．

由于S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

=Sn=

nP

a1 + an+1

（1），

S_n+1=

n+1

∑i=1

1

ai + ai+1

=

(n+1)P

a1 + an+2

（2），

（2）-（1），将p=1代入整理得

(n+1)

a1 + an+2

-

n

a1 + an+1

=

1

an+1 + an+2

，

化简得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）

（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），

（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2对任意的n≥1都成立．

在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，从而{a_n}为等差数列．

（Ⅲ）记t=a_k+1，公差为d，

则T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+

k(k+1)

2

d，则

T

k+1

=t+

kd

2

，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=

4

10

(t+

kd

2

)2+

1

10

(4t-3kd)2≥

4

10

(t+

kd

2

)2=

2

5

(

T

k+1

)2

则T≤

(k+1) 10M

2

，

当且仅当

4t=3kd M= 2 5 (t+ kd 2 )2

，即

ak+1=t=3 M 10 d= 4 k M 10

时等号成立．