设函数f（x）=x2+1，g（x）=x，数列{an}满足条件：对于n∈N*，an＞0，且a1=1并有关系式：f（an+1）-f（an）=g（an+1），又设数列{bn}满足bn=
（1）求证数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）试问数列{
（3）若a=2，记cn=
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（1）证明：因为f（x）=x2+1，g（x）=x，所以f（an+1）-f（an）=2an+1，
g（an+1）=an+1，由f（an+1）-f（an）=g（an+1），得an+1=2an+1，
即得an+1+1=2（an+1），且a1+1=2，
故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得an+1+1=2×2n-1=2n，…（4分）
因此数列{an}的通项为：an=2n-1，…（3分）
（2）数列{
}是等差数列，且公差为loga2，证明如下：1 bn
由bn=
，得log aan+1
=1 bn
，所以log (an+1)a
=1 bn+1
，log (an+1+1)a
故
-1 bn+1
=1 bn
=log (
)aan+1+1 an+1
（常数），log 2a
所以数列数列{
}是以1 bn
=1 b1
为首项，log 2a
为公差的等差数列…（6分）log 2a
（3）由a=2及（1）与（2）可知cn=
，n∈N*，n 2n
=n，1 bn
所以Rn=
，n(n+1) 2
Tn=
+1 2
+2 22
+…+3 23 n 2n
故有
Tn=1 2
+1 22
+2 23
+…+3 24
+n-1 2n n 2n+1
两式相减，
Tn=1 2
+1 2
+1 22
+1 23
+…+1 24
-1 2n
=n 2n+1
-
(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
=1-n 2n+1
-1 2n
，n 2n+1
即Tn=2-
-1 2n-1
=2-n 2n
，n∈N*…（10分）n+2 2n
所以不等式不等式λnTn+
＜2(λn+2Rn an+1
)，即为λn(2-3 an+1
)n+2 2n
＜2(λn+n(n+1) 2n
)3 2n
即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞
，n∈N*恒成立…（12分）n2+n-6 n2+2n
令f（n）=
，．n2+n-6 n2+2n
则f（n）=
=1-n2+n-6 n2+2n
=1-n+6 n2+2n
=1-1 n2+2n n+6
，1 (n+6)+
-1024 n+6
由n+6≥7，得(n+6)+
-10单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1，∴实数λ的取值范围是[1，+∞）…（14分）24 n+6