（1）设双曲线C的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0．

由已知

c

a

=

a2-2

a

=

2

2

，

得a=2，c=

2

，

设双曲线C的渐近线方程为y=kx，

依题意，

|k•0- 2 |

k2+1

=1，解得k=±1．

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．

故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a₁，

则2a₁²=c²=2，得a₁²=1．

∴双曲线C的方程为x²-y²=1．

（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0，

∴直线与双曲线C的左支交于A、B两点，

∴

1-m2≠0 △＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2m

1-m2

，x₁x₂=

-2

1-m2

，

y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2=

2

1-m2

，

由中点坐标公式得AB的中点为（

m

1-m2

，

1

1-m2

），

∴直线l的方程为x=（-2m²+m+2）y-2，

令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，

∵m∈（1，

2

），b的值存在，∴-2m²+m+2≠0，

∴b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8 ，

而-2（m-

1

4

）²+

17

8

∈（-2+

2

，0）∪（0，1），

∴故b的取值范围是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．