问题
选择题
数列{an}是递减的等差数列，{an}的前n项和是Sn，且S6=S9，有以下四个结论：
①a8=0；
②当n等于7或8时，Sn取最大值；
③存在正整数k，使Sk=0；
④存在正整数m，使Sm=S2m；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
答案
∵S6=S9，
∴a7+a8+a9=0，
由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；
∵数列{an}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，
∴当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；
∵a8=0，则S15=
（a1+a15）×15=15a8=0，1 2
∴存在正整数k=15，使sk=0，选项③正确；
由等差数列性质，S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，
∴存在正整数m=5，使sm=s2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选D