问题 解答题
f(x)=
-2x+a
2x+1+b
(a,b为实常数).
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(3)求(2)中函数f(x)的值域.
答案

(1)f(x)=

-2x+1
2x+1+1

f(1)=

-2+1
22+1
=-
1
5
f(-1)=
-
1
2
+1
2
=
1
4

所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(4分)

(2)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),

-2-x+a
2-x+1+b
=-
-2x+a
2x+1+b
对任意实数x成立,

化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0,这是关于x的恒等式,

所以

2a-b=0
2ab-4=0
所以
a=-1
b=-2
a=1
b=2
;(8分)

(3)f(x)=

-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1
,因为2x>0,所以2x+1>1,0<
1
2x+1
<1

从而-

1
2
<f(x)<
1
2
;所以函数f(x)的值域为(-
1
2
1
2
)
.(13分)

单项选择题 A1/A2型题
多项选择题