已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，

问题解答题

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？并说明理由．

答案

由题意，可得

∵函数f（x）是定义在（-∞，1]上的减函数，不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）恒成立

∴不等式

k-sinx≤1

k2-sin 2x≤1

k-sinx≤k2-sin 2x

对一切实数x恒成立，

即

k≤sinx+1

k2≤sin 2x +1

k-k2≤sinx-sin 2x

对一切实数x恒成立，

由此可得k²≤（1+sin²x）_min且k-k²≤（sinx-sin²x）_max

∴k²≤1且k-k²≤-2解之得k=-1

即存在实数k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立．