设数列{a_n}的首项为a₁，由题意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，

a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1）

a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）

当q=-1时，数列{a_n+a_n+1}为a_n=0的一个常数列，是一个等差数列

当q≠-1时

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q + 1

1+q

=

1

q

当q≠±1时，

1

q

 是一个不为1的常数，所以数列{a_n+a_n+1}是等比数列；

当q=1时，

1

q

=1，所以数列{a_n+a_n+1}是一个常数列，它既是等差数列，又是等比数列

故选B