已知点C（4，0）和直线l：x=1，过动点P作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC+2P

问题解答题

已知点C（4，0）和直线l：x=1，过动点P作PQ⊥l，垂足为Q，且(

)•(

-2

)=0；
（1）求点P的轨迹方程，
（2）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，点B（1，0），若△BMN的面积为36

，求直线m的方程．

答案

（1）由题|

|2-4|

|2=0，∴|

|=2|

|，

设P（x，y），

代入得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，

整理得点P的轨迹方程为：

=1，（3分）

（2）由题知直线m的斜率不为0，

且点C（4，0）为双曲线

=1的右焦点，

设m的方程为x=ty+4，由

x=ty+4

得（3t²-1）y²+24ty+36=0，（5分）

易知3t²-1≠0且

y1+y2=

-24t

3t2-1

y1y2=

3t2-1

，

∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，（7分）

由x₁x₂＞0得

3t2+4

3t2-1

＜0⇒t2＜

，S△BMN=

|BC||y1-y2|=

(24t)2-4×36(3t2-1)

|3t2-1|

1+t2

|3t2-1|

1+t2

1-3t2

=36

，（10分）

解得t2=

或t2=

（舍），

∴t2=

⇒t=±

，

直线m的方程为：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）