问题
解答题
已知点C(4,0)和直线l:x=1,过动点P作PQ⊥l,垂足为Q,且(
(1)求点P的轨迹方程, (2)过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1x2>0,点B(1,0),若△BMN的面积为36
|
答案
(1)由题|
|2-4|PC
|2=0,∴|PQ
|=2|PC
|,PQ
设P(x,y),
代入得
=2|x-1|,(x-4)2+y2
整理得点P的轨迹方程为:
-x2 4
=1,(3分)y2 12
(2)由题知直线m的斜率不为0,
且点C(4,0)为双曲线
-x2 4
=1的右焦点,y2 12
设m的方程为x=ty+4,由
得(3t2-1)y2+24ty+36=0,(5分)
-x2 4
=1y2 12 x=ty+4
易知3t2-1≠0且
,y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1
∴x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16,(7分)
由x1x2>0得
<0⇒t2<3t2+4 3t2-1
,S△BMN=1 3
|BC||y1-y2|=1 2
×3 2
=(24t)2-4×36(3t2-1) |3t2-1|
=18 1+t2 |3t2-1|
=3618 1+t2 1-3t2
,(10分)5
解得t2=
或t2=1 4
(舍),19 45
∴t2=
⇒t=±1 4
,1 2
直线m的方程为:2x+y-8=0或2x-y-8=0.(12分)