（Ⅰ）因为a_n+1=a_n，所以an=

an+3 2

，解得an=

3

2

或a_n=-1（舍去）．

由n的任意性知，a1=a=

3

2

．（3分）

（Ⅱ）反证法：

假设an≥

3

2

，则

3+an-1 2

≥

3

2

，得an-1≥

3

2

，

依此类推，an-2≥

3

2

，，a2≥

3

2

，a1≥

3

2

，与a1=

1

2

矛盾．

所以an＜

3

2

．（8分）

（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，

所以2(an-1)=

an-1+1

an+1

．

同理2(an-1-1)=

an-2+1

an-1+1

，2(a3-1)=

a2+1

a3+1

，2(a2-1)=

a1+1

a2+1

．

将上述n-1个式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=

a1+1

an+1

，

即2n-1×

Tn

a1-1

=

a1+1

an+1

，(an+1)Tn=

a 21 -1

2n-1

．

所以

a12-1

2n-1

≤6对任意n≥2恒成立．

又n=1时，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，

故a₁²≤6×2^n-1+1对任意n∈N^*恒成立．

因为数列{6×2^n-1+1}单调递增，所以a₁²≤6×1+1=7，

即a的取值范围是[-

7

，

7

]．（14分）