问题
解答题
| 对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一等差数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）， （1）若数列{an}通项公式an=
（2）若数列{an}的首项是1，且满足△an-an=2n，①证明：数列{
|
答案
解（1）依题△an=an+1-an，
∴△an=[
(n+1)2-5 2
(n+1)]-(13 2
n2-5 2
n)=5n-4，13 2
（2）i）由△an-an=2n，即an+1-an-an=2n，即an+1=2an+2n，
∴
=an+1 2n+1
+an 2n
，1 2
∴
-an+1 2n+1
=an 2n
．a1=1，1 2
=a1 2
，1 2
所以数列{
}是以an 2n
为首项，1 2
为公差的等差数列．1 2
ii）由i）得
=an 2n
+1 2
(n-1)=1 2
，n 2
∴an=
•2n=n•2n-1，n 2
∴Sn=a1+a2+a3+an=1•20+2•21++n•2n-1，①
∴2Sn=1•21+2•22++n•2n②
①-②得-Sn=1+2+22++2n-1-n•2n=
-n•2n，1-2n 1-2
∴Sn=n•2n-2n+1=（n-1）•2n+1．