（1）∵双曲线的离心率为

3

，

∴e=

c

a

=

3

，从而b²=2a²．

双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

由

y=x+m 2x2-y2=2a2

得：x²-2mx-m²-2a²=0

则有x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-m²-2a²

从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=2m²-2a²

∵

OP

•

OQ

=-3，∴x1x2+y1y2=-3

则-m²-2a²+2m²-2a²=-3，即4a²=m²+3；

（2）∵R(0，m)，

PR

=3

RQ

，

∴（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）

∴

-x1=3x2 m-y1=3(y2-m)

，

由

-x1=3x2 x1+x2=2m x1•x2=-m2-2a2

得m²=a²

由

m2=a2 4a2=m2+3

得a²=1则b²=2

故双曲线的方程为x2-

y2

2

=1；

（3）易知F(

3

，0)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．

由

MF

=λ

FN

得：

3 -x1=λ(x2- 3 ) -y1=λy2

设直线MN的方程为x=ty+

3

．

由

x=ty+ 3 2x2-y2=2

得：(2t2-1)y2+4

3

ty+4=0

则

y1+y2=- 4 3 t 2t2-1 y1•y2= 4 2t2-1

，

消去y₁，y₂得：

-λ

(1-λ)2

=

2t2-1

12t2

∵

2t2-1

12t2

=

1

6

-

1

12t2

＜

1

6

，

∴

-λ

(1-λ)2

＜

1

6

，

解得λ＞-2+

3

或λ＜-2-

3

当t=0时，可求出λ=1．

当直线MN与x轴重合时，

可求出λ=-2+

3

或λ=-2-

3

故λ的取值范围是(-∞，-2-

3

]∪[-2+

3

，+∞)．