问题
解答题
已知双曲线
（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM•kPN的值． |
答案
（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：
=b a 3
=12a2 c a2+b2=c2.
解得a2=1，b2=3．
∴双曲线方程为x2-
=1．y2 3
（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（-x0，-y0）．
设P（xP，yP），
则kPM•kPN=
•yP-y0 xP-x0
=yP+y0 xP+x0
，yP2-y02 xP2-x02
又x02-
=1，y02 3
∴y02=3x02-3．
同理yP2=3xP2-3，
∴kPM•kPN=
=3．3xP2-3-3x02+3 xP2-x02