问题
解答题
已知双曲线
（1）求双曲线C的方程； （2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当
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答案
（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．
•AB
=(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1．①AF
cosBAF=
=
•AB AF |
|•|AB
|AF
=-a(a-c) c(c-a)
=cos120°=-a c
．∴c=2a．②1 2
解①，②得a=1，c=2．则b2=c2-a2=3．
故双曲线C的方程为x2-
=1．y2 3
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：y=kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(-
，0)．4 k
∴
=λ1PQ
．QM
∴(-
•-4)=λ1(x1+4 k
，y1)．4 k
∴
⇒-
=λ1(x1+4 k
)4 k -4=λ1y1. x1=-
-4 kλ1 4 k y1=- 4 λ1
∵M（x1，y1）在双曲线C上，
∴
(16 k2
)2-1+λ1 λ1
-1=0．16 3 λ 21
∴16+32λ1+16
-λ 21
k2-k2λ2=0．16 3
∴(16-k2)
+32λ1+16-λ 21
k2=0．16 3
同理(16-k2)
+32λ2+16-λ 22
k2-0．16 3
若16-k2=0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k2≠0
∴λ1，λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-
k2=0的两根16 3
∴λ1+λ2=
=-32 k2-16
．32 7
∴k2=9，此时△＞0，∴k=±3．
∴所求Q点的坐标为(±
，0)．4 3