问题
解答题
已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． |
答案
（1）设P的坐标为（x，y），由(
+2PC
)•(PQ
-2PC
)=0PQ
得|
|2-4|PC
|2=0，PQ
∴（x-4）2+y2-4（x-1）2=0，…（3分）
化简得
-x2 4
=1．y2 12
∴P点在双曲线上，其方程为
-x2 4
=1．…（4分）y2 12
（2）设A，B点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由
得：（3-k2）x2-2kx-13=0，…（6分）y=kx+1
-x2 4
=1y2 12
∴x1+x2=
，x1x2=-2k 3-k2
，13 3-k2
∵AB与双曲线交于两点，
∴△＞0，即4k2-4（3-k2）（-13）＞0，
解得-
＜k＜13 2
．…（8分）13 2
∵若以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD，
∴kAD•kBD=-1，…（10分）
即
•y1+2 x1
=-1，y2+2 x2
∴（y1+2）（y2+2）+x1x2=0⇒（kx1+3）（kx2+3）+x1x2=0
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-
)+3k•13 3-k2
+9=02k 3-k2
解得k2=
，∴k=±7 8
∈(-14 4
，13 2
)，故存在k值为±13 2
．…（13分）14 4