问题
解答题
已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数； （Ⅱ）求f（xn）的表达式； （Ⅲ）若a1=1，an+1=
|
答案
（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（
），x-y 1-xy
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为f(xn-1)=f(
)=f(2xn 1+xn2
)=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，xn-(-xn) 1-xn⋅(-xn)
所以
=2，又f(x1)=f(f(xn+1) f(xn)
)=1，1 2
所以f（xn）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因为
+an+1=6n，所以an+1+an+2=6（n+1），两式相减，得an+2-a n
=6，a n
所以{a2n-1}与{a2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得
=a n
．…．（12分）3n-2(n为奇数) 3n-1(n为偶数)