问题
问答题
设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．
试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．
答案
参考答案：本题是中值定理考题，涉及多个重要的定理，需要考生具有较强的运算和逻辑推理能力，是一道难题．
由拉格朗日中值定理，得
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又根据题设条件，|f(x)|≤1，得
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令ψ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，则ψ(ξ1)≤2，ψ(ξ2)≤2．
因为ψ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且ψ(0)=4，设ψ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2][*](-2，2)上取到，则ψ(ξ)>≥4，且ψ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有ψ’(ξ)=0，即
2f(ξ)·f’(ξ)+2f’(ξ)·f"(ξ)=0．
因为|f(x)|≤1，且ψ(ξ)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有
f(ξ)+f"(ξ)=0，ξ∈(-2，2)．