参考答案：本题考查二次型，是一道比较新颖的考题，在考研中尚未出现过，对考生要求较高，希望同学们见识一下这种提法和做法，并从中学到解题思路和技术．
先证明必要性：
设f(x₁，x₂，…，x_n)=(a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n)(b₁x₁+b₂b₂+…+b_nx_n)=f₁·f₂．
若f₁与f₂线性相关，则有f₂=kf₁，不妨设a₁≠0．
令[*]即
[*]
令[*]，P为可逆矩阵，所以x=P^-1y是可逆变换，从而f=ky₁²，其秩等于1．
若f₁与f₂线性无关，不妨设[*]，令[*]
即[*]
令[*]，故R为可逆矩阵，所以x=R^-1y是可逆变换，则f=y₁y₂，
再令[*]即
[*]
令[*]，T为可逆矩阵，故y=Tz是可逆变换，从而得到[*]，故秩为2．符号差为0．
再证明充分性：f经可逆线性变换化为标准型，不妨没[*]，其秩数为2，符号差为0，则f=(x₁+x₂)(x₁-x₂)，即f可分解为两个一次多项式的乘积．
另外，设[*]，其秩为1，则f=x₁·x₁，即f可分解为两个一次多项式的乘积，命题得证．