（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，

3

)，∴

b

a

=

3

2

，

∴一条渐近线方程方程

3

x-2y=0

∵圆面积为12π，∴圆的半径为2

3

∵以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切

∴

| 3 c|

7

=2

3

，∴c=2

7

∴a²=16，b²=12

∴双曲线的方程为

x2

16

-

y2

12

=1；

（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（3m²-4）y²+6mny+3n²-48=0

又双曲线的渐近线方程为

x2

16

-

y2

12

=0，直线方程代入可得（3m²-4）y²+6mny+3n²=0

∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，

∴AB、CD 的中点重合

∴|AC|=|BD|．