解（1）∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a，∴|

PF1

|=4a，|

PF2

|=2a．

∵

PF1

•

PF2

=0，∴（4a）²+（2a）²=（2c）²，∴e=

c

a

=

5

．

（2）由（1）知，双曲线的方程可设为

x2

a2

-

y2

4a2

=1，渐近线方程为y=±2x．

设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．

∵

OP1

•

OP2

=-3x1x2=-

27

4

，∴x1x2=

9

4

．∵2

PP1

+

PP2

=0，∴

x= 2x1+x2 3 y= 2(2x1-x2) 3 .

∵点P在双曲线上，∴

(2x1+x2)2

9a2

-

(2x1-x2)2

9a2

=1．

化简得，x1x2=

9a2

8

．∴

9a2

8

=

9

4

．∴a²=2．∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

8

=1