问题
解答题
P是以F1、F2为焦点的双曲线C：
（1）试求双曲线的离心率e； （2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当
|
答案
解（1）∵|
|=2|PF1
|，|PF2
|-|PF1
|=2a，∴|PF2
|=4a，|PF1
|=2a．PF2
∵
•PF1
=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴e=PF2
=c a
．5
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为
-x2 a2
=1，渐近线方程为y=±2x．y2 4a2
设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．
∵
•OP1
=-3x1x2=-OP2
，∴x1x2=27 4
．∵29 4
+PP1
=0，∴PP2 x= 2x1+x2 3 y=
.2(2x1-x2) 3
∵点P在双曲线上，∴
-(2x1+x2)2 9a2
=1．(2x1-x2)2 9a2
化简得，x1x2=
．∴9a2 8
=9a2 8
．∴a2=2．∴双曲线的方程为9 4
-x2 2
=1y2 8