（Ⅰ）原点到直线 x-y+

6

=0的距离d=

6

2

=

3

，

∴c=2，a=

3

，∴b=1，

∴双曲线E的方程为E：

x2

3

-y2=1；         

（Ⅱ）解法一：假设存在点M（m，0）满足条件，

①当直线l方程为y=0时，则P(-

3

，0)，Q(

3

，0)，F(-2，0)，∴

FP

•

FQ

=(-

3

+2，0)•(

3

+2，0)=1；

②当直线l方程不是y=0时，可设直线l：x=ty+m，(t≠±

3

)代入E：

x2

3

-y2=1

整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0 (t≠±

3

)，*

由△＞0得m²+t²＞9，

设方程*的两个根为y₁，y₂，满足y1+y2=-

2mt

t2-3

， y1y2=

m2-3

t2-3

，∴

FP

•

FQ

=(ty1+m+2，y1)•(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=

t2-2m2-12m-15

t2-3

，

当且仅当2m²+12m+15=3时，

FP

•

FQ

为定值1，

解得m=-3±

3

，

∵m=-3+

3

不满足对任意t≠±

3

，△＞0，∴不合题意，舍去．

而且m=-3-

3

满足△＞0；

综上得：过定点M(-3-

3

，0)任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使

FP

•

FQ

为定值1．

解法二：前同解法一，得

FP

•

FQ

=

t2-2m2-12m-15

t2-3

，

由

t2-2m2-12m-15

t2-3

=1⇒2m²+12m+15=3，

解得m=-3±

3

，下同解法一．

解法三：当直线l不垂直x轴时，设l：y=k(x-m) (k≠±

3

3

)，代入E：

x2

3

-y2=1

整理得(3k2-1)x2-6mk2x+3(m2k2+1)=0 (k≠±

3

3

)，*

由△＞0得m²k²-3k²+1＞0，

设方程*的两个根为x₁，x₂，满足x1+x2=

6mk2

3k2-1

， x1x2=

3m2k2+3

3k2-1

，

∴

FP

•

FQ

=(x1+2，k(x1-m))•(x2+2，k(x2-m))=(1+k2)x1x2+(2-mk2)(x1+x2)+m2k2+4=

(2m2+12m+15)k2-1

3k2-1

，

当且仅当2m²+12m+15=3时，

FP

•

FQ

为定值1，

解得m=-3±

3

，

∵不满足对任意K≠±

3

3

，△＞0，∴m=-3+

3

不合题意，舍去，

而且m=-3-

3

满足△＞0；   

当直线l⊥x轴时，l：x=-3-

3

代入E：

x2

3

-y2=1得y1，2=±

3+2 3

，

∴

FP

•

FQ

=(-1-

3

，y1)•(-1-

3

，y2)=(-1-

3

)2+y1y2=1；…（9分）

综上得：（结论同解法一）