问题
问答题
设二次型
矩阵A满足AB=0，其中
用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；
答案
参考答案：由[*]知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量。
记[*]则 Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2
所以λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α1，α2是λ=0的线性无关的特征向量。
根据[*]，有0+0+λ3=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6，因此，矩阵A的特征值是0，0，6。
设λ=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有
[*]
对α1，α2正交化，令 β1=(1，0，1)T，则
[*]
再对β1，β2，α3单位化，得
[*]
那么经坐标变换x=Qy，即
[*]
二次型化为标准形[*]
