问题
解答题
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，
（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围． |
答案
（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆x2+(y-
)2=1相切2
所以 1=
⇒k=±1|k×0-
|2 k2+1
可设双曲线C的方程为
-x2 a2
=1y2 a2
又双曲线C的一个焦点为（
，0），2
所以2a2=2⇒a2=1
所求双曲线C的方程为 x2-y2=1
（Ⅱ）由
得(1-m2)x2-2mx-2=0依题意y=mx+1 x2-y2=1
⇒1＜m＜4m2+8(1-m2)＞0
＜02m 1-m2
＞0-2 1-m2 2
线段AB的中点为(
，m 1-m2
)，直线l的方程y=1 1-m2
(x+2)令x=0，得b=1 -2m2+m+2
=2 -2m2+m+2
因为m∈(1，2 -2(m-
)2+1 4 17 8
)，所以-2(m-2
)2+1 4
∈(-2+17 8
，1)2
所以 直线l在y轴上截距b∈(-∞，-2-
)∪(2，+∞)．2