问题
问答题
(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
答案
参考答案：(Ⅰ)对于方程组Ax=ξ1，由增广矩阵[*]作初等行变换，有
[*]
令x2=t得x3=1-2t，x1=-t．
所以 ξ2=(-t，t，1-2t)T，t为任意常数．
[*]
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
[*]
所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
[评注] (Ⅰ)中，对于方程组Ax=ξ1，若选x3=t为自由变量，则
[*]
(Ⅱ)中关于ξ1，ξ2，ξ3线性无关的证明也可用定义法．
由题设可知Aξ1=0．如果
k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0 ①
用A左乘①式两端，并把Aξ1=0代入，有
k2Aξ2+k3Aξ3=0
即 k2ξ1+k3Aξ3=0 ②
用A左乘②式两端，有
k3A2ξ3=0
即 k3ξ1=0．
由于ξ1≠0，故k3=0．代入②可得k2=0．把k2=0，k3=0代入①式，可得k1=0．从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关．