问题
问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=g"(ξ)．
答案
参考答案：令F(x)=f(x)-g(x)
(Ⅰ)若f(x)和g(x)在(a，b)内的最大值在同一点cE(a，b)取到，由题设知，
F(c)=0， F(a)=0， F(b)=0
由罗尔定理知存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使
F’(ξ1)=0，F’(ξ2)=0
对F’(x)在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理，则存在ξ∈(ξ1，ξ2)使
F"(ξ)=0
即
f"(ξ)=g"(ξ)
(Ⅱ)若f(x)和g(x)在(a，b)内的最大值不在同一点取得，不妨设f(x)和．g(x)分别在x1和x2处取得最大值，不妨设x1＜x2
则F(x1)=f(x1)-g(x1)＞0，F(x2)=f(x2)-g(x2)＜0，由连续函数零点定理知，存在c∈(x1，x2)，使F(c)=0，又F(a)=F(b)=0，
以下证明与(Ⅰ)相同．
解析：
[分析]： 为了证明存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=g"(ξ)，即要证f"(ξ)-g"(ξ)=0，为此，令F(x)-f(x)-g(x)，若能证明F(z)在[a，b]上有三个点函数值相等，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使F"(ξ)=0，原题得证．