问题
解答题
已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
（Ⅰ）验证函数g(x)=ln
（Ⅱ）你发现这样的函数f（x）还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明． |
答案
（Ⅰ）由题意，得
＞0，解之得-1＜x＜1，得函数的定义域为（-1，1）；…（2分）1-x 1+x
∵g(x)+g(y)=ln
+ln1-x 1+x
=ln(1-y 1+y
•1-x 1+x
)=ln1-y 1+y 1-x-y+xy 1+x+y+xy
g(
)=lnx+y 1+xy
=ln1- x+y 1+xy 1+ x+y 1+xy 1-x-y+xy 1+x+y+xy
∴g(x)+g(y)=g(
)成立，…（4分）x+y 1+xy
又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴
＞1，可得g(x)=ln1-x 1+x
＞0成立1-x 1+x
综上所述，可得函数g(x)=ln
满足题意所述条件．…（6分）1-x 1+x
（II）发现函数f（x）是区间（-1，1）上的奇函数，且是减函数．
证明如下
①将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）在（-1，1）上是奇函数． …（9分）
②以-y代替y，代入条件得f(x)+f(-y)=f(
)，x-y 1-xy
结合函数为奇函数得f(x)-f(y)=f(
)x-y 1-xy
当-1＜x＜y＜1时
＜0，结合已知条件得f(x-y 1-xy
)＞0x-y 1-xy
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函数f（x）在（-1，1）上是减函数．…（12分）