| 已知函数f1（x）=lg|x-p1|，f2（x）=lg（|x-p2|+2）（x∈R，p1，p2为常数） 函数f（x）定义为对每个给定的实数x（x≠p1），f(x)=
（1）当p1=2时，求证：y=f1（x）图象关于x=2对称； （2）求f（x）=f1（x）对所有实数x（x≠p1）均成立的条件（用p1、p2表示）； （3）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b），若f（a）=f（b）求证：函数f（x）在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为
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（1）当p1=2时f1（x）=lg|x-2|，∴f1（2+x）=lg|2+x-2|=lg|x|，f1（2-x）=lg|2-x-2|=lg|-x|∴f1（2+x）=f2（2-x），所以对称轴为x=2
（2）若对任意实数f（x）=f1（x），∴∀x∈R，f1（x）≤f2（x）均成立
即lg|x-p1|≤lg（|x-p2|+2），由对数的单调性可知|x-p1|≤|x-p2|+2均成立，∴|x-p1|-|x-p2|≤2，又∵|x-p1|-|x-p2|的最大值为|p1-p2|
所以p1，p2满足|p1-p2|≤2
（3）①当|p1-p2|≤2时，由（2）可知f（x）=f1（x）=lg|x-p1|
由（1）可知函数f（x）=f1（x）关于x=p1对称，由f（a）=f（b），可知p1=a+b 2
而f1(x)=
由单调性可知，单调增区间长度为b-lg(x-p1)(x＞p1) lg(p1-x)(x＜p1)
=a+b 2 b-a 2
②当|p1-p2|＞2时，不妨设a＜p1＜p2＜b，即p2-p1＞2，
当x＜p1时，f1（x）=lg（p1-x）＜lg（p2-x）＜f2（x），所以f（x）=f1（x）
当x＞p2时，f1（x）=lg（x-p1）=lg（x-p2-+p2-p1）＞f2（x），所以f（x）=f2（x）
当p1＜x＜p2时，y=f1（x）与y=f2（x）图象交点的横坐标为x0=
+1p1+p2 2
由（1）知f（x）=f1(x)a≤x≤x0(x≠p1) f2(x)x0＜x≤b
故由y=f1（x）与y=f2（x）单调性可知，增区间长度之和为（x0-p1）+（b-p2），由于f（a）=f（b），得p1+p2=a+b+2
所以(x0-p1)+(b-p2)=b-
+1=p1+p2 2
．b-a 2
当p1＞p2时，同理可证增区间长度之和仍为
．b-a 2