问题
解答题
已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=5时，求函数g（x）图象过的定点；
（2）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（3）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
答案
（本小题满分10分）
（1）当t=5时，g（x）=2loga（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）图象必过定点（-1，0）．…（1分）
（2）当t=4时，F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga
=loga[4(x+(2x+2)2 x
)+8]1 x
当x∈[1，2]时，4(x+
)+8∈[16，18]，1 x
若a＞1，则F（x）min=loga16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，则F（x）min=loga18=2，解得a=3
（舍去）．故a=4．…（5分）2
（3）转化为二次函数在某区间上最值问题．由题意知，
logax≥loga(2x+t-2)在x∈[1，2]时恒成立，1 2
∵0＜a＜1，∴
≤2x+t-2在x∈[1，2]时恒成立，…（7分）x
t≥-2x+
+2=-2(x
-x
)2+1 4
在x∈[1，2]时恒成立，∴t≥1．17 8
故实数t的取值范围[1，+∞）． …（10分）