问题
单项选择题
设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为______．
A．E(X)=E(Y)
B．E(X2)-(E(X))2=E(Y2)-(E(Y))2
C．E(X2)=E(Y2)
D．E(X2)+(E(X))2=E(Y2)+(E(X))2
答案
参考答案：B
解析： X，Y不相关的充要条件有：
(1)E(XY)=E(X)·E(Y)；
(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)；
(3)cov(X，Y)=0；
(4)ρxy=0．
本例使用条件cov(X，Y)=0更方便．由
E(ξη)=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)，
而ξ=X+Y，η=X-Y
则E(ξ)=E(X)+E(Y)，E(η)=E(X)-E(Y)，
于是cov(ξ，η)=E(X2)-E(Y2)-(E(X)+E(Y))(E(X)-E(Y))
=E(X2)-(E(X))2-(E(Y2)-(E(Y))2)+E(X)E(Y)-E(X)E(Y)
=D(X)-D(Y)．
因此cov(ξ，η)=0的充要条件是D(X)=D(Y)．仅B入选．