问题
解答题
已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x）2sinθ＞0恒成立，其中0≤θ≤2π，求θ的取值范围．
答案
设f（x）=x2•cosθ-x•（1-x）+（1-x）2•sinθ=（1+sinθ+cosθ）x2-（2sinθ+1）x+sinθ
①若1+cosθ+sinθ=0，
即θ=π或
π时，原不等式不恒成立．3 2
②若1+cosθ+sinθ≠0，即θ≠π或
π时，∵f（x）在[0，1]的最小值为f（0）或f（1）或f[3 2
]2sinθ+1 2(1+cosθ+sinθ)
∴
由第1个不等式得sinθ＞0，由第2个不等式得cosθ＞0，由第3个不等式得sinθ＞f(0)＞0 f(1)＞0 f[
]＞02sinθ1 2(1+cosθ+sinθ) 1 2
又∵0≤θ≤2π∴
＜θ＜π 12
π5 12