参考答案：[证明] 因为f’(x)在[0，1]上连续，所以函数f’(x)在[0，1]上有最值．
设其最大值与最小值分别为M和m，即有
m≤f’(x)≤M，x∈[0，1]．
又由拉格朗日中值定理有
f(x)=f(x)-f(0)=xf’(x)，
则

．
因m≤f’(ξ)≤M，故
xm≤xf’(ξ)≤xM(因x＞0)，
所以2mx≤2xf’(ξ)≤2xM．
因而

，
即m≤

≤M，
亦即m≤

≤M．
对f’(x)使用介值定理，得到至少存在一点η∈[0，1]，使
f’(η)=

．

解析： 因f’(x)在[0，1]上连续，如能证明

在函数f’(x)的最大值与最小值之间，对f’(x)在[0，1]上使用介值定理，问题得证．为要产生导数f’(η)，注意到f(0)=0，可先使用拉格朗日中值定理．