问题
问答题
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2．
求A的全部特征值
答案
参考答案：由题设知，A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，
A(α2-α1)=Aα2-Aα1=α3+α1-(α2+α3)=-(α2-α1)，
A(α3-α1)=Aα3-Aα1=α1+α2-(α2+α3)=-(α3-α1)，
又因为α1，α2，α3线性无关，所以
α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0．可得-1，2是A的特征值，α2-α1，α3-α1，α1+α2+α3是相应的特征向量．
又由α1，α2，α3线性无关，得α2-α1，α3-α1。也线性无关，所以-1是A的二重特征值，即A的全部特征值为-1，-1，2．