2014年3月5日，机床生产商甲公司向乙公司出售机床20台，每台20万元。乙公司因资金周转困难，欲向丙银行贷款400万元，并与甲公司约定：“仅在乙公司的400万元银行借款于2014年6月2日前到账时，机床买卖合同始生效。”2014年4月2日，乙公司与丙银行签订借款合同，并以其自有房屋一套为丙银行设定抵押。双方签订了书面抵押合同，但未办理抵押登记。直至6月16日，乙公司始获得丙银行发放的3个月短期贷款400万元。6月17日，乙公司请求甲公司履行机床买卖合同，甲公司以合同未生效为由拒绝。
2014年5月20日，甲公司与丁公司签订买卖合同。双方约定：“甲公司向丁公司出售机床5台，每台21万元；甲公司应于2014年7月11日前交付机床，交付机床的同时，丁支付货款。”6月20日，丁公司与乙公司签订买卖合同，将拟从甲公司购入的5台机床以每台22万元的价格转售给乙公司。双方约定于7月12日交货付款。
6月5日，甲公司的债权人戊公司要求其清偿到期债务100万元。甲公司遂将对丁公司的合同债权让与戊公司用于抵债，并通知丁公司，丁公司表示反对。7月11日，甲公司欲向丁公司交付机床，同时要求丁公司将货款支付给戊公司。丁公司拒绝向戊公司付款，甲公司遂停止交付机床。
7月12日，乙公司请求丁公司交付机床，丁公司无货可交。7月20日，乙公司另行购得机床5台，共计花费120万元。7月28日，乙公司请求丁公司赔偿其另行购买机床多花费的10万元。
9月16日，乙公司无法偿还丙银行到期贷款，丙银行要求实现在乙公司房屋上设定的抵押权。
要求：
根据上述内容，分别回答下列问题：
乙公司与丙银行之间的抵押合同是否有效？并说明理由。
