问题
问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)＝n．
答案
参考答案：[证] 必要性．设BTAB是正定矩阵，按正定定义
恒有XT(BTAB)X＞0即(Bx)TA(Bx)＞0
那么
恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．
充分性．因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
恒有Bx≠0．因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以
恒有xT(BTAB)x＞0，故矩阵BTAB是正定矩阵．