椭圆

x2

16

+

y2

9

=1短轴的两个顶点为（0，±3），

∴双曲线的焦点为（0，±3）．

∵双曲线过点A（4，-5），

∴2a=

42+(-5-3)2

-

42+(-5+3)2

=2

5

，

∴a=

5

，

∵c=3，

∴b=

c2-a2

=2，

∴所求双曲线的标准方程是

y2

5

-

x2

4

=1．

故答案为：

y2

5

-

x2

4

=1．