问题
解答题
定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy ②f(0)=0，f(
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明； （2）求f（x）； （3）求f（x）+cosx+f（x）•cosx的最大值． |
答案
（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．
（2）令y=
，π 2
得f(x+
)+f(x-π 2
)=2f(x)cosπ 2
=0π 2
令x=
，y=x，π 2
得f(x+
)+f(π 2
-x)=2f(π 2
)cosx=2cosxπ 2
由（1），f（x）是奇函数，f(x-
)+f(π 2
-x)=0π 2
两式相加：2f(x+
)=2cosx∴f(x)=cos(π 2
-x)=sinxπ 2
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
设sinα+cosα=t=
sin(x+2
)，则t∈[-π 4
，2
]，2
且t2=（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα，即sinα•cosα=
∴y=t+t2-1 2
=t2-1 2
t2+t-1 2
，t∈[-1 2
，2
]∴t=2
时，ymax=2
+2 1 2