曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一

问题解答题

曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=

x．线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（I）求曲线C的方程；
（II）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值．

答案

（I）设曲线C的方程为

3λ

+1(x≥

，λ＞0)，

∵λ+3λ=4，解得λ=1．

故所求曲线C的方程是x2-

=1(x≥1)…（5分）

（II）当弦PQ的斜率存在时，则弦PQ的方程为y=k（x-2），

代入曲线C的方程得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，

设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），

由

16k4+4(3-k2)(-4k2-3)＞0

x1+x2=-

4k2

3-k2

＞0

x1x2=-

4k2+3

3-k2

＞0

⇒k2＞3…（9分）

点R到y轴距离|xR|=|

x1+x2

2k2

k2-3

=2+

k2-3

＞2．…（12分）

当弦PQ的斜率不存在时，

点R到y轴距离|x_R|=2，…（13分）

点R到y轴距离的最小值为2．…（14分）