问题
解答题
定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由； （3）若f(
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答案
（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数． …4
（2）任取x1，x2∈（-1，1）且设x1＜x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
)x1-x2 1-x1x2
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，则|x1x2|＜0∴1-x1x2＞0∴
＜0x1-x2 1-x1x2
∴f(
)＞0∴f(x1)＞f(x2)x1-x2 1-x1x2
∴函数在给定区间上递减． …8
（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(
)x-y 1-xy
∴f(
)-f(1 2
)=f(1 5
)，f(1 3
)-f(1 3
)=f(1 11
)，f(1 4
)-f(1 4
)=f(1 19
)1 5
∴f(
)-f(1 2
)-f(1 11
)=2f(1 19
)=1…12．1 5