问题
问答题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为[*]，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．
答案
参考答案：由题设，由线上凸，因而y"＜0．由曲率公式，得
[*]
化简得[*]
令p=y’，则P’=y"，代入上式，得[*]．此为可分离变量的方程，即[*]-dx，两边积分得arctanp=C1-x．又由已知曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，则曲线过点(0，1)，且该点处y’｜x=0=1，即p｜x=0=1.代入上式，得C1=[*]，所以[*]．积分得
[*]
将点(0，1)代入上式，得 [*]
综上得所求曲线为[*]
又由[*]，所以[*]因为lnx是严格递增的，且g(x)=[*]在[*]取极大值，[*]，且
[*]
另有[*]
因而y=y(x)无极小值，当[*]时取得最大值[*]
解析：[考点提示] 曲率、二阶微分方程．