（Ⅰ）由题意c=

13

，

b

a

=

3

2

，则由c²=a²+b²得a=2，b=3

所以双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

9

=1…（2分）

（Ⅱ）解法一：①当过A、B两点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，则

由

y=kx+m x2 4 - y2 9 =1

得(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0(k≠±

3

2

)…（4分）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8km

9-4k2

，x1x2=-

4m2+36

9-4k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

9m2-36k2

9-4k2

…（5分）

又

OA

•

OB

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，

即-

4m2+36

9-4k2

+

9m2-36k2

9-4k2

=0，

∴5m²=36（k²+1）

满足△=64k²m²+16（m²+9）（9-4k²）=64m²+117＞0…（6分）

设原点O到直线AB的距离为d，

则d=

|m|

1+k2

，又由|

OA

|2×|

OB

|2=d2×|

AB

|2

∴

1

| OA |2

+

1

|  OB | 2

=

| AB |2

| OA |2| OB |2

=

(1+k2)(x1-x2)2

(x12+y12)(x22+y22)

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

( 13x12 4 -9)( 13x22 4 -9)

=

k2+1

m2

，

∴

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

5

36

为定值…（8分）

②当过A，B两点的直线斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，则可验证

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

5

36

为定值…（10分）

解法二：设A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），则r=|

OA

|，k=|

OB

|…（4分）

点A在双曲线上，则r2(

cos2θ

4

-

sin2θ

9

)=1⇒

1

r2

=

cos2θ

4

-

sin2θ

9

…（6分）

由

OA

•

OB

=0得cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α

同理，

1

k2

=

cos2α

4

-

sin2α

9

=

sin2θ

4

-

cos2θ

9

…（8分）

所以

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

1

r2

+

1

k2

=

1

4

-

1

9

=

5

36

为定值…（10分）

（Ⅲ）由三角形面积公式，得|

OP

|×|

AB

|=|

OA

|×|

OB

|

所以|

OP

|2×|

AB

|2=|

OA

|2×|

OB

|2⇒|

OP

|2×(|

OA

|2+|

OB

|2)=|

OA

|2×|

OB

|2

即|

OP

|2×(

1

| OA |2

+

1

| OB |2⇒

)=1⇒|

OP

|2=

36

5

所以点P在以原点为圆心，

6 5

5

半径的圆上…（13分）