已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）

问题解答题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）（a＞0），试证明：

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（-1）=0，

∴a-b+c=0，b=a+c，

∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，

当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；

当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．

（2）

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

）=

（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a(

x1+x2

)2+b•

x1+x2

+c]

=a[

x12

x22

x1+x2

)2]=

a(x1-x2)2，

因为a＞0，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），

所以

a(x1-x2)2＞0，故

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

）；

（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）_min=0，

∴-

=-1，

4ac-b2

=0⇒b=2a，b²=4ac⇒4a²=4ac⇒a=c，

由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤

（x-1）²，

令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，

由

a+b+c=1

b=2a

a=c

解得a=c=

，b=

，

当a=c=

，b=

时，f（x）=

x2+

（x+1）2，其顶点为（-1，0）满足条件①，

又f（x）-x=

（x-1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤

（x-1）2，满足条件②．

∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．