问题
解答题
| 在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1＜xn． （1）求证：数列{
（2）设⊙Pn的面积为Sn，Tn=
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答案
（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
=Yn+Y（n+1）(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2
整理就可以得到，
-1 xn+1
=21 xn
故数列{
}是等差数列1 xn
（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去
证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜π
即可3 2
由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（
）2+（1 3
）2+…（1 5
）21 2n-1
因为1+（
）2+（1 2
）2+（1 3
）2+…（1 4
）21 n
=[1+（
）2+（1 3
）2+…（1 5
）2]+1 2n-1
[1+（1 4
）2+（1 2
）2+（1 3
）2+…（1 4
）2]1 n
即1+（
）2+（1 3
）2+…（1 5
）2=1 2n-1
1+（3 4
）2+（1 2
）2+（1 3
）2+…（1 4
）21 n
又因为 1+[（
）2+（1 2
）2+（1 3
）2+（1 4
）2+（1 5
）2+（1 6
）2]+（1 7
）2+…1 8
＜1+[（
）2+（1 2
）2+（1 2
）2+（1 4
）2+（1 4
）2+（1 4
）2+8（1 4
）2+…1 8
=1+
+1 2
+1 4
…=21 8
即就是1+（
）2+（1 2
）2+（1 3
）2+…（1 4
）2＜21 n
所以 1+（
）2+（1 3
）2+…（1 5
）＜1 2n-1
×2=3 4 3 2
即1+（
）2+（1 3
）2+…（1 5
）＜1 2n-1 3 2
所以
+S1
+S2
+…+S3
＜Sn 3 π 2
即Tn＜3 π 2
