问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求a，b，c的值； （2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程． |
答案
（1）∵f（x）为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
f(x)=
，-f(x)=ax2+1 -bx+c ax2+1 -bx-c
∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
=ax2+1 -bx+c
恒成立ax2+1 -bx-c
∴c=0（2分）
又f(1)=
=2，且f(2)=a+1 b
=4a+1 2b 5 2
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)=x2+1 x
得x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
f(x1)-f(x2)=
-
+1x 21 x1
=
+1x 22 x2
x2+x2-x1x 21
-x1x 22 x1x2
=
=x1x2(x1-x2)+(x2-x1) x1x2
（7分）(x1-x2)(x1x2-1) x1x2
当x1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴
＞0，即f（x1）＞f（x2）（9分）(x1-x2)(x1x2-1) x1x2
当x1，x2∈（1，+∞）时，x1x2-1＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴
＜0即f（x1）＜f（x2）（11分）(x1-x2)(x1x2-1) x1x2
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（12分）